10.5 向量值函数和空间曲线

就想平面曲线那样, 为研究空间中质点的运动轨迹, 研究从原点到质点的向量 r 变化. 这里假定质点的位置坐标是时间 t 的二次可微函数.

空间曲线

当一个质点在时间区间 I 在空间内运动时, 可以把质点的坐标看做在 I 上的函数:

点 (x,y) = (f(t), g(t)) 形成空间上的曲线, 称它为质点的路径. 从原点到质点在时刻 t 的位置 P(f(t),g(t),h(t)) 的向量:

是质点的位置向量, 函数 f 和 g 是位置向量的分量函数(分量). 质点的路径是在时间区间 I 由 r 绘制的曲线. 观察下面的空间曲线:

相同方式来定义空间向量函数的极限.

空间向量函数的导数与平面向量函数同样方式定义, 无非现在多了第三个分量.

导数定义的几何意义跟平面曲线一样, 观察下图 r'(t) 为点 P 的切向量.

向量函数 r 描绘的曲线是绕在圆柱上的螺线(Helix).

对光滑曲线要求 dr/dt != 0 是为了保证曲线在每点有连续转动的切线, 在光滑曲线上没有拐角和尖角. 现在观察有尖拐角的空间曲线情况.

微分法则与平面向量函数相同, 无非现在多了第三个分量.

(完)