[专业笔记]自动控制原理系列-自动控制原理难点解析-超前滞后校正实例详解
控制系统的校正是自动控制原理课程的一个难点。本文通过两道习题的详细解析。完整展示从原系统开始怎样一步步设计超前校正器和滞后校正器。然后作出校正前后的BODE图作对比。最后分别作出原系统和校正系统的闭环阶跃响应加以验证。
目录：
- 定理公式证明
- 超前校正实例
- 滞后校正实例
正文：
- 定理公式证明
1.1证明校正环节的Nyquist图(幅相图)是一个圆
证：以超前校正环节为例。设RC相位超前校正器的传递函数为
其中
首先说明为什么超前校正器的a>1。
相位超前表示分子相角大于分母相角，则。于是 a>1。零点 -1/(aT)，极点 -1/T. 1/(aT)<1/T.从BODE图可以看出超前环节幅频曲线是平-上-平，即从水平线开始先遇到1/(aT)转折为20dB/十倍频程的上升直线然后遇到1/T又转折成水平线。
其中
由x得
代入y得
整理得
这是圆的方程。圆心 ( (a+1)/2a, 0 )，半径 (a-1)/2a。得证。
1.2证明(1)
证：
上图为超前校正环节 的Nyquist图
图中圆心坐标和半径标注错误，应该分别为（a+1）/2a和（a-1）/2a.
最大相角即为圆的切线的角度。
得证。
1.3证明 (2)
上图为超前校正环节 的BODE图。设是最大相角处的频率。如图是1/(aT)和1/T的中点。
得证。
1.4证明(3)
证：
得证。
注：由于 , 因此分子分母分别舍去1和 。
- 超前校正实例
【习题7-1】设某单位反馈控制的开环传递函数为。若要求系统的静态速度误差系数，相角稳定裕度 ，幅值稳定裕度。试设计系统的RC相位超前校正装置。
解：
如图2.1 ，原系统的相角裕度只有18°，存在比较严重的振荡。需要加上校正。
设计超前控制器，关键就是确定参数 a 和 T。（a>1）
STEP 1 K=100
STEP 2 确定a.
超前角=理想相位裕度-初始相位裕度+8°=55°-18°+8°=45°
令，可得=5.83
STEP 3 由 (2) 求T
为补偿校正器对增益的衰减，于是串接一个放大器，放大倍数为a,
查原系统G0的BODE图的幅频曲线, 寻找增益等于 -7.57dB 的频率即为
得=48.5。代入公式(2)可得 T=0.0086。
STEP 4
设计过程的语言总结：设计超前校正器就是确定参数a和T。根据题目要求的相角裕度，得到校正器的最大相角，代入公式(1)得到a。设计目标是使超前校正器的最大相角处的频率成为校正系统的交界频率。由公式(2)可知由能算出T。而根据公式(3)可算出校正器在处的增益。因为校正系统在穿越频率处的对数增益（dB）为零，所以原系统在处的对数增益（dB）满足。根据这个对数增益值，可从原系统的BODE图中读取的值。再由公式(2)算出T。设计完毕。
推导流程：
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下面编程仿真验证设计有效性。
如下图所示，串联校正系统 , 相角稳定裕度 γ=56.6° ，幅值稳定裕度
h=+∞ 。完全达到设计要求。
闭环系统的阶跃响应验证
附带说明：BODE图和Nyquist图都是针对的开环系统，阶跃响应图是针对的闭环系统。
%% 程序清单 %%
% % 自动控制原理笔记配套程序3
% % 超前校正设计
%
G0=tf(100,[0.1 1 0])
a=(1+sin(45*3.1416/180))/(1-sin(45*3.1416/180))
T=1/48.4/sqrt(a)
K=a
Gc=tf([a*T 1]./a,[T 1])
G=G0*Gc*K
figure
margin(G0)
hold
margin(G)
grid
figure
G00=G0/(G0+1)
step(G00)
grid
figure
Gg=G/(G+1)
step(Gg)
grid
- 滞后校正实例
【习题7-2】设某单位反馈控制的开环传递函数为若要求系统的静态速度误差系数，相角稳定裕度，试设计系统的RC相位滞后校正装置。
解：
如图3.1 ，原系统的相角裕度为-17.2°幅值裕度为-6.02dB，系统不稳定。需要加上校正。
设计滞后控制器，关键就是确定参数 a 和 T。（0<a<1）
STEP 1 K=30
STEP 2 确定a.
对应相角=-180°+(40°+5°)=-135°
在原系统BODE图上找到相角=-135°处的频率，使之成为校正系统的增益交界频率 ，如图可见 ，如图可见 ,令 , 得 a=0.11
STEP 3 确定T.
令 , 得 T=10/0.11/2.8=32.5
STEP 4
语言总结：根据相角裕度条件，确定原系统BODE图上一点为校正系统的幅值交界点，得到交界频率，得到该点的增益，因此得到校正器的增益。设校正器的零极点都在交界点左边远处，小10倍以上。则可以根据简单公式算出a和T。
补充说明：滞后校正器实际上是一个低通滤波器。它增强了系统稳定性但是减小了带宽。
参考文献
1.自动控制原理学习指导，不详
2.Modern Control Engineering(现代控制工程)第五版中文版，Ogata著，电子工业出版社，2011
3.自动控制原理“轨迹圆”若干问题的探讨，永远的修伊，
https://www.bilibili.com/read/cv14900891/
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